线性微分方程求解基础《解的结构与刘维尔公式》

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一、基本概念

n阶线性微分方程：具有以下结构的微分方程

左侧表达式为关于未知函数y(x)及其各阶导数的线性表达式．

n阶非齐次线性微分方程：

对应的(系数与上面相同)n阶齐次线性微分方程：

函数组的线性相关与线性无关：

设y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)是定义在区间I上的n个函数，如果存在不全为零的n个常数k₁,k₂,…,k_n，使得对一切x∈I，都有

则称这n个函数在区间I内线性相关．否则称为线性无关. 即要使得上式区间I内成立，则一定有

k₁=k₂=…=k_n=0．

二、线性微分方程解的结构

对于线性微分方程具有如下解的结构，解的结构是求解线性微分方程的基础.

(1)设y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)是齐次线性微分方程(**)的n个解，则

C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x)+…+C_n*y_n(x)

也是(**)的解，其中C₁,C₂,…, C_n是n个任意常数.

(2) 设y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)是齐次线性微分方程(**)的n个线性无关的解，则

C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x)+…+C_n*y_n(x)

是(**)的通解，其中C₁,C₂,…,C_n是n个任意常数.

(3) 设y₁^*(x),y₂^*(x)是非齐次线性微分方程(*)的解，则y₁^*(x)-y₂^*(x)是对应齐次线性微分方程(**)的解.

(4) 设Y(x, C₁,C₂,…, C_n)是齐次线性微分方程(**)的通解，y^*(x)是非齐次线性微分方程(*)的解，则

Y(x,C₁,C₂,…, C_n)+ y^*(x)

是非齐次线性方程(*)的通解.

(5)（叠加原理）设y₁(x),y₂(x)分别是非齐次线性方程(*)右边项为f(x)和g(x)的解，则y₁(x)+y₂(x)为(*)右边项为f(x)+g(x)的解；即y₁(x),y₂(x)为(*)的解，y₁(x)+y₂(x)不是(*)的解，应该(*)右边项为2f(x)的解.

三、刘维尔公式

设y₁(x)为二阶齐次线性微分方程

y’’+p(x)y’+q(x)y=0

的一个非零特解，则与y₁(x)线性无关的另一个特解为

该公式称为刘维尔公式.

【注】该方法称为降阶法，也可以认为是待定函数法，即令

y₂(x)=u(x) y₁(x)

代入微分方程，通过求得一个u(x)得到，也可以当做常数变易法的一种，即C y₁(x)为微分方程的解，令常数C为待定函数u(x)，代入微分方程计算得到. 公式中的不定积分都不带任意常数.

四、常数变易法^*

设y₁(x),y₂(x)为二阶非齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的对应的齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的两个线性无关的解，令

求出C₁(x),C₂(x)，则

y^*=C₁(x) y₁(x)+C₂(x)y₂(x)

为原方程的一个特解. 由线性微分方程解的结构，可得非齐次线性微分方程的通解.

参考课件节选：

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